Question

4．已知二次函数y=x²-ax-2a²（a为常数，且a≠0）．
（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；
（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，-2），试求该函数图象的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得方程的两个根一正一负，可证得结论；
（2）把（0，-2）代入抛物线的解析可求得a的值，进一步可求得其顶点坐标．

解答 （1）证明：
y=x²-ax-2a²=（x+a）（x-2a），
令y=0，则x₁=-a，x₂=2a，
∵a≠0，x₁、x₂的值必为一正一负，
∴该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；
（2）解：
由题意，得-2a²=-2，所以a=1或-1．
当a=1时，y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
当a=-1时，y=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
该函数图象的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点和顶点坐标，掌握二次函数与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键．