Question

19．如图，已知二次函数y=x²+bx+$\frac{3}{2}$b的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．
（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；
（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD．

Answer 1

分析 （1）利用点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上得出b的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）首先得出E点坐标，进而得出BD=DE，即可得出BE平分∠ABD；

解答 解：（1）∵点D（1，m）在y=x²+bx+$\frac{3}{2}$b图象的对称轴上，
∴-$\frac{b}{2}$=1．
∴b=-2．
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（1，-4）．
（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．
∴∠DEB=∠EBO．
令y=1，则x²-2x-3=1，解得x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$．
∵点E位于对称轴右侧，
∴E（1+$\sqrt{5}$，1）．
∴DE=$\sqrt{5}$．
令y=0，则x²-2x-3=0，解得x=3或-1，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（-1，0）．
∴BD=$\sqrt{{1}^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴BD=DE．
∴∠DEB=∠DBE．
∴∠DBE=∠EBO．
∴BE平分∠ABD．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的对称轴、顶点坐标的求法和等腰三角形的判定等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，属于中档题．