Question

18．已知二次函数y=-x²+（m-2）x+m+1．
（1）试说明：无论m取何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）当m为何值时，函数图象的对称轴是y轴？
（3）当m为何值时，函数图象与x轴的两个交点都在原点的左侧？

Answer 1

分析 （1）求得b²-4ac的值，再证明大于0即可；
（2）根据对称轴公式，使对称轴为0，求得m的值即可；
（3）设函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，根据根与系数的关系列出关于m的不等式组即可．

解答 解：（1）△=（m-2）²-4×（-1）（m+1）=m²+8＞0，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，
∴无论m为何实数，二次函数图象与x轴必有两个交点．
（2）∵-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{m-2}{-2}$=0，
∴m=2；
（3）设二次函数图象与x轴的两个交点为（x₁，0），（x₂，0），
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=m-2＜0}\\{{x_1}{x_2}=-（m+1）＞0}\end{array}}\right.$，
解得m＜-1．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点问题，以及根与系数的关系，明确x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解题的关键．