Question

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）连接OE，如图，根据切线的性质由CD与⊙O相切得到OD⊥CD，而AD⊥CD，则OE∥AD，所以∠DAE=∠AEO，由于∠AEO=∠OAE，所以∠OAE=∠DAE；
（2）根据圆周角定理由AB是直径得到∠AEB=90°，由于∠ABE=60°，则∠EAB=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE中，计算出BE=

1

2

AB=2，AE=

3

BE=2

3

；在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，计算出DE=

1

2

AE=

3

，AD=

3

DE=3；
②先计算出∠AOE=120°，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S_扇形AOE-S_△AOE=S_扇形AOE-

1

2

S_△ABE进行计算．

解答：（1）证明：连接OE，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠DAE=∠AEO，
∵AO=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠OAE=∠DAE，
∴AE平分∠DAC；
（2）解：①∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．
∴∠EAB=30°，
在Rt△ABE中，BE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
AE=

3

BE=2

3

，
在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，
∴DE=

1

2

AE=

3

，
∴AD=

3

DE=

3

×

3

=3；
②∵OA=OB，
∴∠AEO=∠OAE=30°，
∴∠AOE=120°，
∴阴影部分的面积=S_扇形AOE-S_△AOE
=S_扇形AOE-

1

2

S_△ABE
=

120•π•22

360

-

1

2

•

1

2

•2

3

•2
=

4

3

π-

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系．