Question

18．等边△ABC的边长为18，在AC，BC边上各取一点D，E，连接AE，BD相交于点P，若AE=BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为4$\sqrt{3}$π或9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：①点P的路径是一段弧，由题目不难看出当D为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．②点E靠近点B时，点P的路径就是过点C向AB做的垂线段．

解答 解：若AE=BD，则有AD=BE或AD=CE两种情况：
①当AD=CE时，点P的路径是一段弧，当D为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，

此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=18，
∴OA=6$\sqrt{3}$，
∴点P的路径长l=$\frac{120×π×6\sqrt{3}}{180}$=4$\sqrt{3}$π；

②当AD=BE时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段CG，

因为等边三角形ABC的边长为18，
所以点P的路径长CG为：9$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$π或9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，弧线长公式的运用，解答时证明三角形全等是关键，解答本题时注意转化思想的运用．