Question

13．如图．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁+x₂=4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与y轴交于C点，求直线BC的表达式；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用x₁+x₂=4，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$求出x₁和x₂，从而得到A（1，0），B（3，0），然后利用交点式写出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求直线BC的解析式；
（3）利用三角形面积公式求解．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=4，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）（x-3），
即y=-x²+4x-3；
（2）当x=0时，y=-x²+4x-3=-3，则C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
（3）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（3-1）×3=3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式．