Question

3．如图，CA=CB，E在BC上，且CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，AE的延长线交BD于F，连接CF．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求∠CFB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据条件证明△BCD≌△ACE就可以得出结论；
（2）由△BCD≌△ACE就可以得出∠BDC=∠AEC，∠DBC=∠EAC，由∠ACB=90°，就可以得出∠DBC+∠AEC=90°，就可以得出∠BFE=90°，进而得出结论；
（3）由∠ACB=90°，BF⊥AE就可以得出A、B、C、F四点共圆，就有∠AFC与∠ABC互补，进而得出结论．

解答 （1）证明：∵在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，∠DBC=∠EAC．
∵∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，
∴AF⊥BD；

（3）∵∠AFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴A、B、C、F四点共圆，
∴∠AFC+∠ABC=180°，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠AFC=135°．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，圆的内接四边形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．