Question

14．如图，在梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4．AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线A→O→C向终点C运动，运动时间是t秒．
（1）求D点的坐标；
（2）当t为何值时，△APD是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）首先过点D作OD₁⊥x轴于点D₁，作OD₂⊥y轴于点D₂．由点D为线段BC的中点，即可求得答案；
（2）分别从两种情况，DP⊥AP或PD⊥DA去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）过点D作OD₁⊥x轴于点D₁，作OD₂⊥y轴于点D₂．
∵AB=4，AO=8，
∵点D为线段BC的中点，
∴OD₁=$\frac{1}{2}$OA=4，OD₂=DD₁=$\frac{1}{2}$（AB+CO）=7．
故D点的坐标是（4，7）．

（2）解：直角三角形即能满足勾股定理．
则根据速度公式可得：当DP⊥AO，
点D为线段BC的中点，D点的坐标是（4，7）．
∴AP=4，
t₁=1，
利用勾股定理表示出AP₁²=8²+（4t-8）²，AD²=4²+7²
t₂=$\frac{89}{28}$．
∴当t=1或$\frac{89}{28}$时，△APD是直角三角形

点评 此题考查了梯形的性质、勾股定理以及中点的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．