Question

如图，抛物线的顶点为D（﹣1，4），与轴交于点C（0，3），与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标。

Answer 1

（1）由题意得    ，解得：，

∴解析式的解析式为：。

  

           （3）设E，分两种情况讨论：

                

①若△AFE∽△ACD，如图1，则，即，

整理，得，解得（与点A重合，舍去），

当时，。

∴此时，点E的坐标为。

               

【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，分类思想的应用。