Question

如图，已知AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，并且AC、BD相交于点R，OP⊥BC，OQ⊥AD．求证：四边形OPRQ为平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,三角形中位线定理,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接BO并延长交圆O于E，连接CE，根据BE是直径，得到∠BCE=90°，然后根据∠ACB+∠ACE=90°，∠ADB+∠CAD=90°，∠ADB=∠ACB得到∠ACE=∠CAD，从而得到

AD

=

CE

，利用等弧对等弦德尔AD=CE然后根据中位线定理得到PO=

1

2

CE和根据直角三角形的性质得到RQ=

1

2

AD，从而得到PO=RQ 同理，连接AO并延长，交圆O于F，连接DF，同样可证得RP=OQ，从而判定四边形OPRQ为平行四边形．

解答：解：连接BO并延长交圆O于E，连接CE，
∵BE是直径，
∴∠BCE=90°
∵∠ACB+∠ACE=90°，∠ADB+∠CAD=90°，∠ADB=∠ACB﹙等弧﹚
∴∠ACE=∠CAD
∴

AD

=

CE

∴AD=CE
∵PO=

1

2

CE﹙中位线﹚，RQ=

1

2

AD﹙直角三角形斜边上的中线﹚
∴PO=RQ ①
同理，连接AO并延长，交圆O于F，连接DF，
同样可证得RP=OQ ②
∴四边形OPRQ为平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理及圆周角定理，解题的关键是正确的作出辅助线，难度不大．