Question

5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y=x-1，y=$\frac{1}{x}$，y=x²有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y=2x²-bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x²-2x（x≥m）的图象为G₁，将G₁沿x=m翻折后得到的函数图象记为G₂．函数G的图象由G₁和G₂两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．

Answer 1

分析 （1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）①首先由函数y=2x²-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由其不变长度为零，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；
（3）由记函数y=x²-2x（x≥m）的图象为G₁，将G₁沿x=m翻折后得到的函数图象记为G₂，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．

解答 解：（1）∵函数y=x-1，令y=x，则x-1=x，无解；
∴函数y=x-1没有不变值；
∵函数y=$\frac{1}{x}$，令y=x，则x=$\frac{1}{x}$，解得：x=±1，
∴函数y=$\frac{1}{x}$的不变值为±1，q=1-（-1）=2，
∵函数y=x²，令y=x，则x=x²，解得：x₁=0，x₂=1，
∴函数y=x²的不变值为：0或1，q=1-0=1；

（2）①函数y=2x²-bx，令y=x，则x=2x²-bx，
整理得：x（2x-b-1）=0，
∵q=0，
∴x=0且2x-b-1=0，
解得：b=-1；
②由①知：x（2x-b-1）=0，
∴x=0或2x-b-1=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{b+1}{2}$，
∵1≤b≤3，
∴1≤x₂≤2，
∴1-0≤q≤2-0，
∴1≤q≤2；

（3）∵记函数y=x²-2x（x≥m）的图象为G₁，将G₁沿x=m翻折后得到的函数图象记为G₂．
∴函数G的图象关于x=m对称，
∴G：y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x（x≥m）}\\{（2m-x）^{2}-2（2m-x）（x＜m）}\end{array}\right.$，
∵当x²-2x=x时，x₃=0，x₄=3；
当（2m-x）²-2（2m-x）=x时，△=1+8m，
当△＜0，即m＜-$\frac{1}{8}$时，q=x₄-x₃=3；
当△≥0，即m≥-$\frac{1}{8}$时，x₅=$\frac{4m-1+\sqrt{1+8m}}{2}$，x₆=$\frac{4m-1-\sqrt{1+8m}}{2}$，
①当-$\frac{1}{8}$≤m≤0时，x₃=0，x₄=3，
∴x₆＜0，
∴x₄-x₆＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当x₅=x₄时，m=1，当x₆=x₃时，m=3；
当0＜m＜1时，x₃=0（舍去），x₄=3，
此时0＜x₅＜x₄，x₆＜0，q=x₄-x₆＞3（舍去）；
当1≤m≤3时，x₃=0（舍去），x₄=3，
此时0＜x₅＜x₄，x₆＞0，q=x₄-x₆＜3；
当m＞3时，x₃=0（舍去），x₄=3（舍去），
此时x₅＞3，x₆＜0，q=x₅-x₆＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜-$\frac{1}{8}$．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．