Question

8．△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件时，四边形ADCF是矩形；
（3）当△ABC满足条件时，四边形ADCF是菱形；
（4）当△ABC满足条件时，四边形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）、（4）小题直接填写条件，不需要写出理由．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，所以AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）根据矩形的判定定理可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以要令∠ADC=90°的条件皆可，如AB=AC或∠ABC=∠ACB；
（3）根据菱形的判定定理可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以要令∠BAC=90゜即可；
（4）根据正方形的判定定理可知，所以要令AB=AC且∠BAC=90゜即可．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD，
在AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
又∵AF∥DC，
∴四边形ADCF为平行四边形．

（2）解：当△ABC满足AB=AC 条件时，四边形ADCF是矩形；
理由：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形ADCF是矩形；

（3）当△ABC满足∠BAC=90゜条件时，四边形ADCF是菱形；
理由：∵∠BAC=90゜，BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；

（4）当△ABC满足AB=AC且∠BAC=90゜条件时，四边形ADCF是正方形．
理由：∵AB=AC且∠BAC=90゜，BD=DC，
∴AD=DC，且∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是正方形．

点评 本题考查了三角形全等的判定方法以及平行四边形，矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．