Question

6．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F．
（1）当∠A=30°时，求证：PE+PF=BC；
（2）当A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到PA=2PF，PB=2PE，证明结论；
（2）运用三角形的面积公式得到△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×（PE+PF），△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×BC，得到答案．

解答 证明：（1）∵∠A=30°，PF⊥AD，
∴PA=2PF，
同理，PB=2PE，
∴BA=2（PE+PF），
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BA=2BC，
∴PE+PF=BC；
（2）成立，
连接DP，
△PDA的面积=$\frac{1}{2}$×AD×PF，
△PDB的面积=$\frac{1}{2}$×BD×PE，又BD=AD，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×（PE+PF），又△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×BC，
∴PE+PF=BC．

点评 本题考查的是三角形的面积的计算和直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半是解题的关键，注意三角形的面积公式的应用．