题目内容

14．四边形ABCD是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图1，当点P是矩形ABCD的BC边的中点，此时，易知PA2+PC2=PB2+PD2．
①当P为BC边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由．
②如图3，P是矩形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC、PD．若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．
（2）若将矩形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，（3），如图4所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．

分析 （1）根据矩形的性质和勾股定理进行证明即可；
①利用勾股定理进行解答即可；
②利用已知可证得四边形ADGK是矩形，进而得出AK2=DG2，CG2=BK2，即可得出答案；
（2）结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时，以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时，分别求出即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵点P是矩形ABCD的BC边的中点，
∴BP=PC，
在Rt△ABP中，AB2=PA2-PB2，
同理在Rt△PCD中，CD2=PD2-PC2，
∴PD2-PC2=PA2-PB2，
即PA2+PC2=PB2+PD2；
①成立，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
在Rt△ABP中，AB2=PA2-PB2，
同理在Rt△PCD中，CD2=PD2-PC2，
∴PD2-PC2=PA2-PB2，
即PA2+PC2=PB2+PD2；
②过点P作KG∥BC，如图（3）：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2
同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=DG2+PG2
PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，
∴AK=DG，同理CG=BK，
∴AK2=DG2，CG2=BK2
∴PA2+PC2=PB2+PD2
∴PD=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}-{4}^{2}}=2\sqrt{2}$；
（2）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图4：

∴BC=4，AB=2，
∴S矩形ABCD=4×2=8，
直线HI垂直BC于点I，交AD于点H，
当点P在直线AD与BC之间时，
S△PAD+S△PBC=$\frac{1}{2}$BC•HI=4，
即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=-x+4，
当点P在直线AD上方时，S△PBC-S△PAD=$\frac{1}{2}$BC•HI=4，
而y与x的函数关系式为y=4+x，
当点P在直线BC下方时，S△PAD-S△PBC=$\frac{1}{2}$BC•HI=4，
y与x的函数关系式为y=x-4．

点评 此题主要考查了矩形的判定与全等三角形的判定以及分类讨论思想应用，根据已知得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键．

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