题目内容
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O为BC上一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O切AC于M，交BC于D，CD=2，OD=3．
（1）如图1，求tan∠ACB及AM的长；
（2）如图2，E为AB中点，CE、MB交于点N，求
的值．
（1）如图1，求tan∠ACB及AM的长；
（2）如图2，E为AB中点，CE、MB交于点N，求
| EN |
| CN |
考点：切线的性质
专题：
分析：（1）首先运用切割线定理求出CM的长，然后运用勾股定理求出AB的长，问题即可解决．
（2）作平行线，构造相似三角形，运用相似三角形的性质即可解决问题．
（2）作平行线，构造相似三角形，运用相似三角形的性质即可解决问题．
解答：解：（1）如图1，
∵CD=2，OD=3，
∴CB=2+6=8；
∵AC为⊙O的切线，
∴CM2=CD•CB，
∴CM=
=4；
∵∠ABC=90°，AM为⊙O的切线，
∴AB=AM（设为x）．
由勾股定理得：（x+4）2=x2+82，
解得x=6；
tan∠ABC=
=
=
；
∴tan∠ACB及AM的长分别为
，6．
（2）如图2，过点C作CP∥AB，交BM的延长线于点P；
则△BEN∽△PCN，△ABM∽△CPM，
∴
=
，
=
；
∵AB=AM．
∴PC=MC=4；
又∵E为AB中点，
∴BE=
AB=3，
∴
=
．
∵CD=2，OD=3，
∴CB=2+6=8；
∵AC为⊙O的切线，
∴CM2=CD•CB，
∴CM=
| 2×8 |
∵∠ABC=90°，AM为⊙O的切线，
∴AB=AM（设为x）．
由勾股定理得：（x+4）2=x2+82，
解得x=6；
tan∠ABC=
| AB |
| BC |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
∴tan∠ACB及AM的长分别为
| 3 |
| 4 |
（2）如图2，过点C作CP∥AB，交BM的延长线于点P；
则△BEN∽△PCN，△ABM∽△CPM，
∴
| EN |
| CN |
| BE |
| CP |
| AB |
| PC |
| AM |
| MC |
∵AB=AM．
∴PC=MC=4；
又∵E为AB中点，
∴BE=
| 1 |
| 2 |
∴
| EN |
| CN |
| 3 |
| 4 |
点评：该题在考查切割线定理及其应用问题的同时，还考查了切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来解题．
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