Question

已知一次函数y₁=-x+m与二次函数y₂=ax²+bx-3的图象交于两点A（-1，0）、B（2，-3），且二次函数与y轴交于点C，P为抛物线顶点．求△ABP的面积．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：把点A的坐标代入一次函数计算即可求出m，再把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求得解析式，然后把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点P的坐标，再求出对称轴与直线AB的交点坐标，然后利用三角形和梯形的面积公式列式计算即可得解；

解答：解：点A（-1，0）代入y₁=-x+m得，1+m=0，
解得m=-1，
∵二次函数y₂=ax²+bx-3经过A（-1，0）、B（2，-3），
∴

a-b-3=0 4a+2b-3=-3

，
解得

a=1 b=-2

，
所以二次函数的解析式为y₂=x²-2x-3；
∵y₂=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点P坐标为（1，-4），
当x=1时，y₁=-1-1=-2，
∴△ABP的面积=

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×1×3-

1

2

×4×3=3．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当a＞0时，抛物线开口向上，当x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．