Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx经过A（2，4），B（4，0）两点，点P为x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线y=x于点C，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当PC=$\frac{1}{2}$CD时，求m的值；
（3）以PC为边向右侧作正方形PCEF，是否存在点P，使点E，F中有一个落在直线AB上？若存在，请直接写出相应的点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）利用抛物线的解析式表示点P的坐标为：P（m，-m²+4m），
当C在P的下方时，如图1，由PD=PC+CD列式可得结论；
当C在P的上方时，如图3，由则PC=CD-PD=$\frac{1}{2}$CD列式可得结论；
（3）分两种情况：点E和F分别落在直线AB上时，
①如图1，点F在直线AB上，表示出点F的坐标，代入直线AB的解析式即可求出m的值；
②如图2，点E在直线AB上，表示出点E的坐标，代入直线AB的解析式即可求出m的值．

解答 解：（1）把A（2，4），B（4，0）代入y=ax²+bx得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为：y=-x²+4x；
（2）由题意得：P（m，-m²+4m），
∴PD=-m²+4m，
∵C在直线y=x上，PD⊥x轴，
∴CD=OD=m，
∵PC=$\frac{1}{2}$CD，
当C在P的下方时，如图1，由PD=PC+CD得：-m²+4m=$\frac{3}{2}$m，
m₁=0（舍），m₂=$\frac{5}{2}$；
当C在P的上方时，如图3，则PC=CD-PD=$\frac{1}{2}$CD，
m-（-m²+4m）=$\frac{1}{2}$m，
m=$\frac{7}{2}$，
综上所述，m的值是$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$；
（3）①如图1，点F在直线AB上，
PC=-m²+4m-m=-m²+3m，
∵四边形PDEF是正方形，
∴PF=PC=-m²+3m，
∴F的横坐标为：-m²+3m+m=-m²+4m，
∵F在直线y=x上，
∴F（-m²+4m，-m²+4m），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（2，4），B（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+8，
则-m²+4m=-2（-m²+4m）+8，
-3m²+12m-8=0，
3m²-12m+8=0，
m₁=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$（舍），m₂=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$；
②如图2，点E在直线AB上，
∵C（m，m），PC=-m²+3m，
∴E（-m²+4m，m），
则m=-2（-m²+4m）+8，
m₁=$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$（舍），m₂=$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$；
综上所述，点P的横坐标为$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，根据已知条件，利用坐标与图形特点表示线段的长，代入等量关系式中列方程即可解决问题．