Question

18．已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=$\sqrt{5}$，分别以AC、AB为边在△ABC外作等边△ACD和等边△ABE，连接BD、CE，则BD的长为3．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠DAC=60°，则∠BAD=∠EAC，再根据三角形全等的判定方法可证得△ACE≌△ADB，根据全等的性质得出BD=CE，再证出∠CBE=90°，由勾股定理求出CE，即可得到结果．

解答 证明：∵△ABE和△ACD是等边三角形，
∴BE=AE=AB=2，AD=AC，∠ABE=∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠CAB，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ACE和△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBE=∠ABE+∠ABC=90°，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=3，
∴BD=3；
故答案为：3．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．