Question

11．如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，将△ABC折叠，使点B落在边AC上点D （不与点A重合）处，折痕为PQ，当重叠部分△PQD为等腰三角形时，则AD的长为2或2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的定义，分①PD=DQ时，BP=BQ，再根据翻折变换前后的线段相等判断出BP=BQ=PD=DQ，从而得到四边形BQDP是菱形，根据菱形的对边平行可得PD∥BC，BP∥DQ，然后判断出△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质用AD表示出PD、CD，然后根据AC的长度列方程求解即可；②DQ=PQ时，BQ=PQ，求出△BPQ是等腰直角三角形，点B与点C重合，从而得到AD=AC；③PD=PQ时，PQ=BP，然后求出△BPQ是等腰直角三角形，点B与点A重合，不符合题意．

解答 解：①PD=DQ时，BP=BQ，
由翻折变换得，BP=PD，BQ=DQ，
所以，BP=BQ=PD=DQ，
所以，四边形BQDP是菱形，
所以，PD∥BC，BP∥DQ，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，
在Rt△APD中，PD=$\sqrt{2}$AD，
在Rt△CDQ中，CD=DQ，
∵PD=DQ，
∴CD=$\sqrt{2}$AD，
∵AC=AD+CD，
∴AD+$\sqrt{2}$AD=2，
解得AD=2$\sqrt{2}$-2；
②DQ=PQ时，BQ=PQ，
所以，∠BPQ=∠B=45°，
所以，△BPQ是等腰直角三角形，
所以，点B与点C重合，
所以，AD=AC=2；
③PD=PQ时，PQ=BP，
所以，∠BQP=∠B=45°，
所以，△BPQ是等腰直角三角形，
所以，点B与点A重合，
此时，点B与点A重合，不符合题意，舍去；
综上所述，AD的长度为2或2$\sqrt{2}$-2．
故答案为：2或2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合题，难点在于分情况讨论．