Question

19．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠BAE=∠AEB，证出AB=EB，得出四边形ABEF是菱形，即可得出结论；
（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出BC的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠FAE=∠AEB，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{6}{BC-6}=\frac{BC}{6}$，
解得：BC=3±3$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴BC=3+3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、相似多边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．