Question

【题目】如图1，在△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，DE=AE，且∠B=∠C=∠DEA=β。

（1）求证：△BDE≌△CEA

（2）当∠DEB=β 时，

①求 β 的值;

②若将△AEC绕点E顺时针旋转，使得∠DEA =90°，如图2所示，其余条件不变，连结AB交CE的延长线于F，求证：CF=CA .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①β=30°；②见解析.

【解析】

（1）由△BDE的外角∠DEC=∠B+∠BDE和∠B=∠DEA，可推出∠BDE=∠AEC，再由条件DE=AE，∠B=∠C，根据角角边即可判定全等；

（2）①由△BDE≌△CEA可得∠CAE=∠DEB=β，在等腰三角形ADE中可求出

∠DAE=，然后在△ABC中，利用内角和180°建立方程可求解；

②

（1）证明：∵∠DEC=∠B+∠BDE，∠B=∠DEA

∴∠BDE=∠AEC

在△BDE和△CEA中，

∴

（2）①∵

∴∠CAE=∠DEB=β，

在△ADE中，DE=AE，∠DEA=β

∴∠ADE=∠DAE=

在△ABC中∠B+∠C+∠DAE+∠CAE=180°

即

解得

② 由①得图1中∠C=∠B=∠DEA=，

∴∠ADE=∠DAE==75°

∵∠ADE=∠B+∠BED，∴∠BED=45°，

然后在图2中延长BE交AC于点G，过D作DH⊥BE于H，如下图所示，

则△DEH为等腰直角三角形，DH=HE，

∵旋转前∠DEA=30°，旋转后为90°，

∴△AEC绕点E顺时针旋转60°，

∴∠CEG=∠BEF=60°，

又∵∠C=30°，∴∠EGC=90°，∠CAE=∠BED=45°，

∴△AEG也为等腰直角三角形，

在△DEH和△AEG中，

∴

∴DH=HE=EG=AG

设DH=a，则HG=2a，

∵在RT△ADE中，DE=AE，∴∠ADE=45°=∠BED

∴AD∥BG，又∵DH⊥HG，AG⊥HG，

∴四边形ADHG为矩形，

∴AD=HG=2a，

在Rt△BDH中，∠DBH=30°，∴BD=2DH=2a，

∴AD=BD，

∴∠DBA=∠DAB，

又∵AD∥BG

∴∠DAB=∠ABH，

∴∠DBA=∠ABH=∠DBH=15°

∴∠AFC=∠ABH+∠BEF=15°+60°=75°，

在△ACF中，∠C=30°，∠AFC=75°，

∴∠CAF=

∴∠AFC=∠CAF

∴CF=CA