题目内容
【题目】已知,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40°,试探究线段BD与CE的数量关系与直线BD与CE相交构成的锐角的度数.
(1)如图①,当点D,E分别在△ABC的边AB,AC上时,BD与CE的数量关系是___________,直线BD与CE相交构成的锐角的度数是_____________.
(2)将图①中△DAE绕点A逆时针旋转一个角度到图②的位置,则(1)中的两个结论是否仍然成立?说明理由.
(3)将图②中△DAE继续绕点A按逆时针方向继续旋转到点D落在CA的延长线时,请画出图形,并直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立.
【答案】(1)BD=CE;40°;(2)仍然成立;理由见解析;(3)成立;图形见解析.
【解析】
(1)根据图形和已知条件即可得出结论;
(2)延长BD、CE,相交于点F,由∠BAC=∠DAE得出∠DAB=∠EAC,利用SAS证得△DAB≌△EAC,根据全等三角形的性质得到BD=CE,∠DBA=∠ECA,根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=140°即∠ABC+∠BCF+∠ECA=140°,利用等量代换得到∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°,最后利用三角形内角和定理即可得出结论;
(3)方法同(2).
(1)BD=CE;40°;
如图①∵AB=AC,AD=AE
∴AB-AD=AC-AE
∴BD=CE
直线BD与CE相交构成的锐角是∠A,
∴∠A=∠BAC=∠DAE=40°
故答案为:BD=CE;40°;
(2)仍然成立
证明:延长BD、CE,相交于点F,如图所示
∵∠BAC=∠DAE=40°
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE
即∠DAB=∠EAC
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS)
∴BD=CE,∠DBA=∠ECA
∵∠BAC=40°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB=140°
∴∠ABC+∠BCF+∠ECA=140°
∴∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°即∠FCB+∠FBC=140°
∵∠FCB+∠FBC+∠F=180°
∴∠F=40°
(3)(1)中结论仍然成立,如图所示
证明:∵∠BAC=∠DAE=40°
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
即∠DAB=∠EAC
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS)
∴BD=CE,∠DBA=∠ECA
∵∠BAC=40°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB=140°
∴∠ABC+∠BCF+∠FCA=140°
∴∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°,即∠FCB+∠FBC=140°
∵∠FCB+∠FBC+∠BFC=180°
∴∠BFC=40°
【题目】某年5月,我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害,1.5万人被迫转移,邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后,决定调运物资支援灾区.已知C市有救灾物资240吨,D市有救灾物资260吨,现将这些救灾物资全部调往A、B两市.已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元,从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元,设从D市运往B市的救灾物资为x吨.
(1)请填写下表
A(吨) | B(吨) | 合计(吨) | |
C |
|
| 240 |
D |
| x | 260 |
总计(吨) | 200 | 300 | 500 |
(2)设C、D两市的总运费为w元,求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)经过抢修,从D市到B市的路况得到了改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m元(m>0),其余路线运费不变.若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元,求m的取值范围.