Question

1．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，对称中心为P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=60°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．
（1）△APE和△CFP是否相似？若相似，请说明理由；
（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，y=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，
①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，相似．只要证明∠4=∠5=60°，∠1=∠3即可证明．
（2）①如图2中，作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，连接PB．由△PAE∽△FCP，得$\frac{CF}{AP}$=$\frac{CP}{AE}$，得$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{AE}$，推出AE=$\frac{4}{x}$，BE=4-$\frac{4}{x}$，由此即可解决问题．
②如图3中，只要证明△PCF是等边三角形，即可推出x=2，利用①的结论即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，相似．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AD=CD，∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠4=∠5=60°，
∵∠EPF=60°，
∴∠1+∠2=120，∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
∴△PAE∽△FCP．

（2）②如图2中，作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，连接PB．

∵BA=BC，AP=PC，
∴∠PBA=∠PBC，
∵PG⊥AB，PH⊥BC，
∴PG=PH，
∵△PAE∽△FCP，
∴$\frac{CF}{AP}$=$\frac{CP}{AE}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{AE}$，
∴AE=$\frac{4}{x}$，
∴BE=4-$\frac{4}{x}$，
∴y=$\frac{2•（4-\frac{4}{x}+4-x）•PG}{2•x•PH}$=$\frac{8}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-1（1≤x≤4）．

③如图3中，

∵图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
∴∠APE=∠APN=∠CPF=∠CPM，
∵∠EPF=∠MPN=60°，
∴∠APE=∠CPF=60°，
∴∠1=∠2=30°，∠C=∠CPF=60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴CF=CP=x=2，
∴y=$\frac{8}{2}$-$\frac{4}{{2}^{2}}$-1=2．

点评 本题考查相似形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考压轴题．