Question

9．如图，平面直角坐标系中，A（-2，0），B（8，0），以AB为直径作半圆P交y轴于点D，过点B作BC⊥x轴，且BC=10，连结CD．
（1）图中⊙P的半径长为5，点D的坐标为（0，4）；
（2）求证：直线CD是⊙P的切线；
（3）求tan∠CDB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据A、B两点的坐标计算AB的长，即圆P的直径，从而求出⊙P的半径长，作辅助线，构建直角三角形，利用射影定理列式：OD²=OA•OB，求出OD的长，写出点D的坐标；
（2）如图2，作辅助线，构建矩形和全等三角形，先证明四边形OBCE是矩形，再利用勾股定理求CD=10，则CD=CB，证明△CDP≌△CBP，则∠CDP=∠CBP=90°，所以直线CD是⊙P的切线；
（3）证明∠CBD=∠ODB=∠CDB，根据tan∠ODB=$\frac{OB}{OD}$=$\frac{8}{4}$=2，得tan∠CDB=2．

解答 解：（1）如图1，A（-2，0），B（8，0），
∴AB=2+8=10，
∴⊙P的半径为5，
连接AD，
∵AB为⊙P的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OD⊥AB，
∴OD²=OA•OB，
∴OD²=2×8=16，
∴OD=4，
∴D（0，4），
故答案为：5，（0，4）；
（2）证明：如图2，连接DP、CP，过C作CE⊥OD于E，
∵∠CEO=∠EOB=∠OBC=90°，
∴四边形OBCE是矩形，
∴CE=OB=8，OE=BC=10，
∵OD=4，
∴ED=10-4=6，
在Rt△CDE中，CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=BC，
∵PD=PB，PC=PC，
∴△CDP≌△CBP，
∴∠CDP=∠CBP=90°，
∴直线CD是⊙P的切线，
（3）如图2，∵CD=BC，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OD∥BC，
∴∠CBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CDB，
在Rt△ODB中，tan∠ODB=$\frac{OB}{OD}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴tan∠CDB=2．

点评 本题是圆的综合题，难度不大，做好本题要熟练掌握：①直径所对的圆周角为90°，②射影定理，③切线的判定：经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线；在圆中常利用勾股定理和同角的三角函数列比例式，求出线段的长；所以构建直角三角形是常作的辅助线方法．