Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．

（1）求m和b的值；

（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．

①当△ACE的面积为12时，求t的值；

②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m的值是4，b的值是；（2）①当△ACE的面积为12时，t的值是5；②存在，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．

【解析】

（1）将点C坐标代入直线y＝﹣x+2中即可求出m的值，从而求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入y＝x+b中即可求出b的值；

（2）①根据两个一次函数的解析式分别求出点A、B、D的坐标，从而求出AD，由题意可得，DE＝2t，则AE＝16﹣2t，然后利用三角形的面积公式列出方程即可求出t的值；

②根据直角三角形直角顶点的情况分类讨论：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出AC，证出△ACE为等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t；当∠CEA＝90°时，证出△ACE为等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t．

（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，

∴m＝﹣（﹣2）+2＝2+2＝4，

∴点C（﹣2，4），

∵函数y＝x+b的图象过点C（﹣2，4），

∴4＝×（﹣2）+b，得b＝，

即m的值是4，b的值是；

（2）①∵函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，

∴点A（2，0），点B（0，2），

∵函数y＝x+的图象与x轴交于点D，

∴点D的坐标为（﹣14，0），

∴AD＝16，

由题意可得，DE＝2t，则AE＝16﹣2t，

∵△ACE的面积为12，点C的坐标为（﹣2，4），

∴＝12，

解得，t＝5

即当△ACE的面积为12时，t的值是5；

②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，

理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，

∵点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣2，4），点D（﹣14，0），

∴OA＝OB，AC＝4，

∴∠BAO＝45°，

∴∠CAE＝45°，

∴∠CEA＝45°，

∴CA＝CE＝4，

∴△ACE为等腰直角三角形

∴AE＝8，

∵AE＝16﹣2t，

∴8＝16﹣2t，

解得，t＝4；

当∠CEA＝90°时，

∵AC＝4，∠CAE＝45°，

∴△ACE为等腰直角三角形

∴AE＝4，

∵AE＝16﹣2t，

∴4＝16﹣2t，

解得，t＝6；

由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．