Question

【题目】如图，为直径，是上一点，于点，弦与交于点，过点作，使，交的延长线于点．过点作的切线交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求弧的长；

(3)若，，求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)6.

【解析】

（1）连接OD，如图，先证明∠3=∠1，再证明∠C=∠4，然后利用∠3+∠C=90°得到∠1+∠4=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由切线的性质得∠OAG=90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOD=130°，然后根据弧长公式可计算出弧的长；

（3）设OF=x，则OB=3x，则可表示出BF=2x，再利用∠1=∠2得到ED=EF=2x+4，然后在Rt△ODE中，根据勾股定理得到（3x）2+（2x+4）2=（4+3x）2，再解方程求出x即可得到OB的长．

（1）连接OD．如图，∵∠1=∠2，而∠2=∠3，∴∠3=∠1．

∵OC⊥AB，∴∠3+∠C=90°，∴∠1+∠C=90°．

∵OC=OD，∴∠C=∠4，∴∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴GE是⊙O的切线；

（2）∵AG为切线，∴AG⊥AB，∴∠OAG=90°，而∠ODG=90°，∴∠AOD=180°﹣50°=130°，∴弧的长==π；

（3）设OF=x，则OB=3x，∴BF=2x．

∵∠1=∠2，∴ED=EF=2x+4．

在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，∴（3x）2+（2x+4）2=（4+3x）2，解得：x=2，∴OB=3x=6．