Question

14．若$\frac{1}{1+a}$+$\frac{2}{1+{a}^{2}}$+$\frac{4}{1+{a}^{4}}$+$\frac{8}{1+{a}^{8}}$=0，求（1+a）（1+a²）（1+a⁴）（1+a⁸）的值．

Answer 1

分析 利用平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b），可将分式分步通分，每一步只通分左边两项，化简求得$\frac{16}{1{-a}^{16}}$=$\frac{1}{1-a}$；然后代入所求的代数式进行求值即可．

解答 解：由$\frac{1}{1+a}$+$\frac{2}{1+{a}^{2}}$+$\frac{4}{1+{a}^{4}}$+$\frac{8}{1+{a}^{8}}$=0，得
$\frac{（1+a）+（1-a）}{（1-a）（1+a）}$+$\frac{2}{1+{a}^{2}}$+$\frac{4}{1+{a}^{4}}$+$\frac{8}{1+{a}^{8}}$+$\frac{1}{a-1}$
=$\frac{2}{1{-a}^{2}}$+$\frac{2}{1+{a}^{2}}$+$\frac{4}{1+{a}^{4}}$+$\frac{8}{1+{a}^{8}}$+$\frac{1}{a-1}$
=$\frac{2（1+{a}^{2}）+2（1-{a}^{2}）}{1-{a}^{4}}$+$\frac{4}{1+{a}^{4}}$+$\frac{8}{1+{a}^{8}}$+$\frac{1}{a-1}$
=$\frac{4（1+{a}^{4}）+4（1-{a}^{4}）}{1-{a}^{8}}$+$\frac{8}{1+{a}^{8}}$+$\frac{1}{a-1}$
=$\frac{8（1+{a}^{8}）+8（1-{a}^{8}）}{1-{a}^{16}}$+$\frac{1}{a-1}$
=$\frac{16}{1{-a}^{16}}$+$\frac{1}{a-1}$=0，
∴$\frac{16}{1{-a}^{16}}$=$\frac{1}{1-a}$，
∴（1-a）（1+a）（1+a²）（1+a⁴）（1+a⁸）=1-a¹⁶，
∴（1+a）（1+a²）（1+a⁴）（1+a⁸）=（1-a¹⁶）•$\frac{1}{1-a}$=（1-a¹⁶）•$\frac{16}{1{-a}^{16}}$=16．
即（1+a）（1+a²）（1+a⁴）（1+a⁸）=16．

点评 本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是利用平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b），将分式分步通分．