Question

16．如图，AC⊥BC于点C，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，若BC=3，△ABC的周长是10，则⊙O的半径等于2．

Answer 1

分析 首先设BA、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，易得四边形CEOF为正方形，设⊙O的半径为x，又由切线长定理可得△ABC的周长=2BE=2（BC+CE），即可得2（3+x）=10，继而求得答案．

解答 解：设BA、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，如图，
∵AC、BE为切线，
∴OE⊥BE、OF⊥AC，且AC⊥BC，
∴四边形CEOF为正方形，
设⊙O的半径为x，
则CE=CF=x，
又由切线长定理，可知BD=BE，AD=AF，
∴△ABC的周长为：BA+BC+AC=BA+AF+BC+CF=BA+AD+BC+CE=BD+BE=2BE=2（BC+CE）=2（3+x）=10，
解得：x=2．
即⊙O的半径等于2．
故答案为：2．

点评 此题考查了切线的性质、切线长定理以及正方形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．