Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BD是△ABC角平分线，求tan15°的值．（提示：过点D作DE⊥AB．垂足为点E．）

Answer 1

分析 设AC=a，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，利用∠ABC的正切可表示出BC=$\sqrt{3}$a，过点D作DE⊥AB．垂足为点E，如图，根据角平分线性质得DE=DC，∠DBC=15°，设CD=x，则DE=x，AD=a-x，在Rt△ADE，根据∠A的正弦得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，即x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），所以x=$\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}$，在Rt△BDC中，利用正切的定义可求出tan15°的值．

解答 解：设AC=a，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$，
∴BC=$\frac{a}{tan30°}$=$\sqrt{3}$a，
过点D作DE⊥AB．垂足为点E，如图，
∵BD是△ABC角平分线，
∴DE=DC，∠DBC=15°，
设CD=x，则DE=x，AD=a-x，
在Rt△ADE，∵sinA=$\frac{DE}{AD}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，即x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），
∴x=$\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}$，
在Rt△BDC中，tan∠DBC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{3}a}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
即tan15°=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．