Question

16．如图，Rt△ABC中，AC=4，AB=5，∠C=90°，经过点C且与边AB相切的圆与△ABC的边CB，CA分别相交于点E、F，线段EF长度的最小值为（　　）

• A． 2.4
• B． 2
• C． 2.5
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取EF的中点O，作OG⊥AB于G，CH⊥AB于H，连结OC，如图，先利用勾股定理计算出BC=3，再利用面积法计算出CH=2.4，接着根据圆周角定理可判断EF为经过点C且与边AB相切的圆的直径，点O为圆心，然后根据切线的性质得OG为⊙O的半径，则EF=OC+OG，利用垂线段最短，当OC、OG共线时，OC+OG的值最小，最小值为CH的长，于是得到EF的最小值为2.4．

解答 解：取EF的中点O，作OG⊥AB于G，CH⊥AB于H，连结OC，如图，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∵∠ECF=90°，
∴EF为经过点C且与边AB相切的圆的直径，点O为圆心，
∵AB为⊙O的切线，
∴OG为⊙O的半径，
∴EF=OC+OG，
当OC、OG共线时，OC+OG的值最小，最小值为CH的长，
∴EF的最小值为2.4．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．