题目内容
已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，0）、B（O，4），点C的坐标为C（-2，O），点P是直线AB上的一动点，直线CP与y轴交于点D．（1）当CP⊥AB时，求OD的长；
（2）当点P沿直线AB移动时，以点P为圆心，以AB为直径作⊙P，过点C作⊙P的两条切线，切点分别为点E、F．
①若⊙P与x轴相切；求CE的长；
②当点P沿直线AB移动时，请探求是否存在四边形CEPF的最小面积S？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）根据点A、B、C的坐标求出AB、OA、OB的长度，再根据全等三角形的判定与性质得出OD的长；
（2）①先求出直线AB的解析式，然后设出点P的坐标，根据切线的定义可得点P的纵坐标的长度等于⊙P的半径，然后求解得到x的值，即可得解；
②根据点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PC的长度，再利用勾股定理表示出CE，然后根据切线长定理可得四边形CEPF的面积等于△PCE的面积的2倍，然后根据三角形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
（2）①先求出直线AB的解析式，然后设出点P的坐标，根据切线的定义可得点P的纵坐标的长度等于⊙P的半径，然后求解得到x的值，即可得解；
②根据点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PC的长度，再利用勾股定理表示出CE，然后根据切线长定理可得四边形CEPF的面积等于△PCE的面积的2倍，然后根据三角形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
解答：解：（1）如图1，∵点A、B的坐标分别为A（3，0）、B（O，4），
∴AB=5，
∵点C的坐标为C（-2，O），
∴AC=5，
∴AB=5=AC．
在△AOB和△APC中，
，
∴△AOB≌△APC（AAS），
∴AP=OA=3，CP=OB=4，
∴BP=OC=2，
在△BDP和△CDO中
，
∴△BDP≌△CDO（AAS），
∴DP=OD，
设DP=OD=x，则CD=4-x，
故x2+22=（4-x）2，
解得：x=
，即OD=
；
（2）①如图（2）①，设AB解析式为y=ax+b，将A（3，0）、B（O，4），代入得出：
，
解得：
，
∴AB的解析式为y=-
x+4，
设点P的坐标为（x，-
x+4），
∵⊙P与x轴相切，
∴|-
x+4|=
=
，
即-
x+4=
或-
x+4=-
，
解得x=
或x=
，
所以，CE=
-（-2）=
+2=
，
或CE=
-（-2）=
+2=
；
②如图（2）②
∵点P（x，-
x+4），C（-2，0），
∴PC=
，
∵⊙P的半径为
=
，
∴根据勾股定理得，CE=
=
=
，
根据切线长定理，△PCE与△PCF关于直线PC成轴对称，
则四边形CEPF的面积=2S△PCE=2×
•
×
=
，
当
x-2=0，即x=
时，四边形CEPF的面积有最小值，最小值为
×
=
．
∴AB=5，
∵点C的坐标为C（-2，O），
∴AC=5，
∴AB=5=AC．
在△AOB和△APC中，
|
∴△AOB≌△APC（AAS），
∴AP=OA=3，CP=OB=4，
∴BP=OC=2，
在△BDP和△CDO中
|
∴△BDP≌△CDO（AAS），
∴DP=OD，
设DP=OD=x，则CD=4-x，
故x2+22=（4-x）2，
解得：x=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）①如图（2）①，设AB解析式为y=ax+b，将A（3，0）、B（O，4），代入得出：
|
解得：
|
∴AB的解析式为y=-
| 4 |
| 3 |
设点P的坐标为（x，-
| 4 |
| 3 |
∵⊙P与x轴相切，
∴|-
| 4 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
即-
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
解得x=
| 9 |
| 8 |
| 39 |
| 8 |
所以，CE=
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| 25 |
| 8 |
或CE=
| 39 |
| 8 |
| 39 |
| 8 |
| 55 |
| 8 |
②如图（2）②
∵点P（x，-
| 4 |
| 3 |
∴PC=
(x+2)2+(-
|
∵⊙P的半径为
| AB |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴根据勾股定理得，CE=
| PC2-PE2 |
(x+2)2+(-
|
(
|
根据切线长定理，△PCE与△PCF关于直线PC成轴对称，
则四边形CEPF的面积=2S△PCE=2×
| 1 |
| 2 |
(
|
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
(
|
当
| 5 |
| 3 |
| 6 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
|
5
| ||
| 4 |
点评：本题考查了一次函数的问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，切线长定理以及两点间的距离公式，二次函数的最值问题，利用直线解析式设出点P的坐标是解题的关键，本题运算量较大，比较复杂，计算时要仔细认真．
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