Question

12．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+100×101=343400；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．
（只需写出结果，不必写中间的过程）

Answer 1

分析 （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入熟记进行计算即可求解；
（2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解；
（3）根据（2）的求解规律，利用特殊等式的计算方法，先把每一个算式分解成两个算式的运算形式，整理即可得解．

解答 解：∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，即1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×（3+1）×（3+2）=20
∴（1）原式=$\frac{1}{3}$×100×（100+1）×（100+2）=$\frac{1}{3}$×100×101×102=343400；
（2）原式=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）原式=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：343400；$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．

点评 考查了有理数的混合运算，能从材料中获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本能力．
要注意：连续的整数相乘的进一步变形，即n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；
n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．