Question

15．抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（0，3）与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限的抛物线上一动点，OP交AB于点C，若PC：OC=2：3，求点P的坐标；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）只需把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，如图所示，设点P的坐标为（m，n），则ON=m，PN=n．易证△OMC∽△ONP，根据相似三角形的性质可得OM=$\frac{3}{5}$m，CM=$\frac{3}{5}$n．易得MA=CM=$\frac{3}{5}$n，从而可得n=5-m，然后把点P（m，5-m）代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（3）由于AB确定，可分AB是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点P与点B的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可解决问题．

解答 解：（1）∵A（3，0）、B（0，3）在抛物线y=-x²+bx+c上，
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，如图所示，

则有CM∥PN，
∴△OMC∽△ONP，
∴$\frac{OM}{ON}$=$\frac{CM}{PN}$=$\frac{OC}{OP}$．
设点P的坐标为（m，n），
则ON=m，PN=n．
∵PC：OC=2：3，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OM}{m}$=$\frac{CM}{n}$=$\frac{3}{5}$，
∴OM=$\frac{3}{5}$m，CM=$\frac{3}{5}$n．
∵OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴MA=CM=$\frac{3}{5}$n，
∴$\frac{3}{5}$m+$\frac{3}{5}$n=3，
∴n=5-m，
∴点P的坐标为（m，5-m），
∴5-m=-m²+2m+3，
整理得m²-3m+2=0，
解得m₁=2，m₂=1．
当m=2时，点P的坐标为（2，3）；
当m=1时，点P的坐标为（1，4）．
则点P的坐标为（2，3）和（1，4）；

（3）①若AB为平行四边形的一边，
则P、B到AQ的距离相等，
∴|y_P|=|y_B|=3，
∴y_P=±3．
当y_P=3时，解方程-x²+2x+3=3得，
x₁=0，x₂=2，
∴点P的坐标为（2，3）；
当y_P=-3时，解方程-x²+2x+3=-3得，
x₁=1-$\sqrt{7}$，x₂=1+$\sqrt{7}$，
∴点P的坐标为（1-$\sqrt{7}$，-3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）；
②若AB为平行四边形的一条对角线，
则BP∥AQ，
∴y_P=y_B=3，
∴点P的坐标为（2，3）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（2，3）、（1-$\sqrt{7}$，-3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、解一元二次方程、平行四边形的性质、抛物线的性质等知识，构造相似三角形是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．