Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为8cm²？
（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：分别写出BP、BQ的关系式，
（1）△PBQ是等腰三角形，则根据BP=BQ即可求得t的大小，即可解题；
（2）写出△PQB的面积的表达式，根据BQ、BP的关系式和面积为10cm²即可求得t的大小，即可解题
（3）要使得△BPQ∽△BAC，则使得

BP

AB

=

BQ

BC

即可．

解答：解：设t秒后，则BP=6-t，BQ=2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，则BP=BQ即6-t=2t，解得t=2；
（2）△PQB的面积为

1

2

BP•BQ=

1

2

（6-t）（2t）=8，即（t-1）（t-5）=0，解得t=2或6．
（3）①△BPQ∽△BAC，则

BP

AB

=

BQ

BC

，即2t=2（6-t），解得t=3．
②△BPQ∽△BCA，则有BP：BC=BQ：AB，∴6-t：12=2t：6，解得t=1.2
故当t=3秒或t=1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似．

点评：本题考查了三角形面积的计算及一元二次方程的应用，考查了等腰三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中正确列出关于t的方程式是解题的关键．