Question

【题目】如图，中，，以为直径的圆与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点

（1）求证：是圆的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（（1）由等腰三角形的性质可证∠ODB=∠C，从而OD//AC，可证OD⊥DF，即可解决问题；

（2）连结BE，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据已知用AE表示出AB、EC、BE，从而可得，然后由△DFC∽△BEC，得，由此即可计算CF长．

（1）证明：如图，连接OD，

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线

(2)解：如图，连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°．

∵AB＝AC，AC＝3AE，

∴AB＝3AE，CE＝4AE，

∴BE＝＝AE，

∴．

∵∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴DF∥BE，

∴△DFC∽△BEC，

∴，

∴DF＝FC．

∵DF＝2，

∴CF＝．