Question

【题目】如图1，把 绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上，连接交于点，的外接圆圆O与交于、

（1）求证：是圆O切线；

（2）如图2连接，，若，判断四边形的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析（3）

【解析】

（1）利用旋转的性质可得：，由三角形内角和可得=90°，即可证明是圆O切线；

（2）由等腰三角形的性质可得：，可得：，可得

由，可设，可得，故，由，可得，可得，即可判断四边形的形状；

（3）计算得，

根据勾股定理列出方程：，求出x的值，即可求出，，运用相似三角形的判定可得：，利用相似三角形的性质可求出 ，根据勾股定理渴求出MG的长度，即可求出GH的长度；

（1）证明：由旋转可知，

是⊙O的直径

∵

又∵

∴

又∵OE是⊙O的半径

是⊙O的切线

（2）四边形是平行四边形

理由如下：

由旋转可知，

又

在中

在中

设，

由旋转可知：

又∵

四边形是平行四边形

（3）四边形是平行四边形

由旋转可知：

在中

在中

解得，

，

如图，过点作于点，连接

，

在中

（取正值）