Question

13．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，直线OP交⊙O于点D、E．
（1）求证：△PAO≌△PBO；
（2）已知PA=4，PD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得到PA=PB，∠OPA=∠OPB，再根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根据三角形全等的判定方法即可得到结论；
（2）由PA⊙O的切线，得到OA⊥PA，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，在Rt△OAP中根据勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，然后解方程即可．

解答 （1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
在R_t△PAO与R_t△PBO中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴R_t△PAO≌R_t△PBO；

（2）解：∵PA⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在R_t△OAP中，设⊙O的半径为r，则OP=OD+PD=r+2，
∵OA²+PA²=OP²，
∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，
即半径OA的长为3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理、全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．