Question

6．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 设B′C′与CD相交于点E，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AB′E全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB′=∠EAD，再根据旋转角求出∠BAB′=30°，再解直角三角形求出ED的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答 解：如图，设B′C′与CD相交于点E，

在Rt△ADE和Rt△AB′E，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AD=AB′}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴∠EAB′=∠EAD，
∵旋转角为30°，
∴∠BAB′=30°，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$（90°-30°）=30°，
在Rt△ADE中，ED=ADtan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴这个风筝的面积=2×S_△ADE=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了旋转的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．