Question

18．AB、CD是⊙O的直径，E是$\widehat{BC}$上一点，EG⊥CD于G，EF⊥OB于F，若∠AOC=60°，FG=$\sqrt{7}$，求AB的长．

Answer 1

分析 连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，由∠EGO=∠EFO=90°、∠GOF=180°-∠COD=120°得∠GEF=60°，根据∠EGO=∠EFO=90°得点E、G、O、F在⊙O上，延长GO′交⊙O′于R、连接RF得∠GFR=90°，根据圆周角定理知∠GRF=∠GEF=60°，在Rt△GRF中，由OE=GR=$\frac{GF}{sin∠GRF}$得⊙O的半径，继而得出答案．

解答 解：如图所示，连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，

∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠EGO=∠EFO=90°．
∴∠GEF+∠GOF=180°．
∵∠GOF=180°-∠COD=180°-60°=120°，
∴∠GEF=180°-120°=60°
∵∠EGO=∠EFO=90°，点O′是OE的中点，
∴点E、G、O、F在以点O′为圆心，O′O为半径的圆上．
延长GO′交⊙O′于R，连接RF．
则有∠GRF=∠GEF=60°．
∵GR是⊙O′的直径，
∴∠GFR=90°．
∴OE=GR=$\frac{GF}{sin∠GRF}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴AB=2OE=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了四边形的内角和定理、圆周角定理、锐角三角函数等知识，而构造辅助圆是解题的关键．