Question

如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
（2）连接结EG，当AE=6时，求EG的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠A=∠B=45°，∠AEM=∠BMG，得到△AME∽△BGM．
（2）由△AME∽△BGM，列出比例式，结合∠A=∠EMG=45°，得到△AME∽△MGE，这是解决该题的关键结论；根据余弦定理求出ME的长度，列出关于线段GE的比例式即可解决问题．

解答：解：（1）△AME∽△BGM．
证明如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°；而∠EMG=45°，
∴∠AEM+∠AME=∠AME+∠BMG=135°，
∴∠AEM=∠BMG，
∴△AME∽△BGM．
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=8，
∴由勾股定理得：AB²=64+64，
∴AB=8

2

；
∴AM=BM=4

2

；
∵△AME∽△BGM，
∴ME：MG=AE：BM，而AM=BM，
∴ME：MG=AE：AM，
∴ME：AE=MG：AM，而∠A=∠EMG=45°，
∴△AME∽△MGE，
∴ME：GE=AE：ME，
GE=

ME2

AE

；
由余弦定理得：ME2=(4

2

)2+62-2×4

2

×6•cos45°=20，
∴ME=2

5

，GE=

10

3

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，找出图形中隐含的相等或相似关系；大胆猜测推理，科学解答论证．