Question

（本题满分分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

（1）证明：∵OD＝OB，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；

（2）2－．

【解析】

（1）由OD＝OB，得∠1＝∠ODB，根据三角形的外角的性质得，∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，得∠DOC＝∠A，又∠A＋∠C＝90°，得OD⊥DC，即可；

（2）阴影部分的面积＝S△COD－S扇形DOE＝×2×2－＝2－．

考点：切线的判定；扇形面积的计算．