Question

已知函数y=（m-1）x²-2mx+m+1．
（1）求出函数图象和x轴的交点坐标；（可以用含m的代数式表示）
（2）当m为何整数时，函数图象和x轴的交点横坐标都为正整数？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,一次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题,分类讨论

分析：（1）需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况；
（2）利用（1）中的x的值得到

2

m-1

是正整数，则m-1=1或2，所以m=2或3．

解答：解：（1）①当m-1=0，m=1时，函数y=-2x+2和x轴的交点为（1，0）；
②当m-1≠0，m≠1时．
当y=0时，（m-1）x²-2mx+m+1=0，则b²-4ac=4，
∴x₁=

2m+2

2(m-1)

=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

，x₂=

2m-2

2(m-1)

=1；
∴该函数图象和x轴的交点坐标是（1+

2

m-1

，0）、（1，0）；

（2）∵方程的两个根都是正整数，
∴

2

m-1

是正整数，
∴m-1=1或2，
∴m=2或3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征．此题属于易错题，同学们往往忽略函数y=（m-1）x²-2mx+m+1是一次函数时，该函数图象与x轴的交点坐标．