Question

如图①，如果A₁、A₂、A₃、A₄把圆周四等分，则以A₁、A₂、A₃、A₄为顶点的直角三角形有4个；如图②，如果A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆把圆周六等分，则以A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆为顶点的直角三角形有12个；如果A₁、
A₂、A₃、…A_2n把圆周2n等分，则以A₁、A₂、A₃、…A_2n为顶点的直角三角形有________个．

Answer 1

2n（n-1）
分析：根据圆周角定理找到直径所对的圆周角是直角，然后由一条直径所对的直角数来寻找规律．
解答：解：由圆周角定理知，直径所对的圆周角是直角．
∴当A₁、A₂、A₃、A₄把圆周四等分时，该圆中的直径有A₁A₃，A₂A₄两条，
∴①当以A₁A₃为直径时，有两个直角三角形；
②当以A₂A₄为直径时，有两个直角三角形；
∴如果A₁、A₂、A₃、A₄把圆周四等分，则以A₁、A₂、A₃、A₄为顶点的直角三角形有（4÷2）×（4-2）=4个；
当A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆把圆周六等分，则以A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆为顶点的直角三角形有（6÷2）×（6-2）=12个；
当A₁、A₂、A₃、…A_2n把圆周2n等分，则以A₁、A₂、A₃、…A_2n为顶点的直角三角形有（2n÷2）×（2n-2）=2n（n-1）个．
故答案是：2n（n-1）．
点评：本题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题是关键是根据直径的条数、顶点的个数来寻找规律．