Question

已知：关于x的方程x²-（k+3）x+3k=0的两根为α，β．
（1）是否存在实数k使

1

α

+

1

β

=

2

3

成立？若成立，求k的值；若不成立，说明理由；
（2）若Rt△ABC的一边长为4，另两边长恰好是此方程的两根α，β，求Rt△ABC的周长．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式,勾股定理

专题：

分析：（1）根据根与系数的关系得到α+β=k+3，αβ=-3k，再由

1

α

+

1

β

=

2

3

变形得

α+β

αβ

=

2

3

，所以

k+3

-3k

=

2

3

，然后解方程求出k的值；
（2）先利用因式分解法解方程x²-（k+3）x+3k=0得α=k，β=3，然后分类讨论：当4为斜边或当4为直角边，根据勾股定理建立等量关系求出对应的k的值，再计算三角形的周长．

解答：解：（1）存在．
∵α+β=k+3，αβ=-3k，
而

1

α

+

1

β

=

2

3

，
∴

α+β

αβ

=

2

3

，
∴

k+3

-3k

=

2

3

，解得k=-1，
当k=-1时△＞0，
∴实数k=1使

1

α

+

1

β

=

2

3

成立；
（2）解方程x²-（k+3）x+3k=0得α=k，β=3，
当4为斜边时，α²+β²=4²，即k²+3²=16，解得k₁=

7

，k₂=-

7

（舍去），此时Rt△ABC的周长=4+3+

7

=7+

7

；
当4为直角边时，4²+β²=k²，即k²+3²=16，解得k₁=5，k₂=-5（舍去），此时Rt△ABC的周长=4+3+5=12．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了勾股定理．