Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC=BC=8，点D为AB中点，点P从B点沿射线BC以2个单位/每秒运动，点Q从点C沿线段CA以1个单位/每秒运动，运动时间为t秒．求：
（1）t为何值时，△BPD为直角三角形？
（2）t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）是否存在这样时刻t，使得△BPD与△PCQ全等？若存在，求出这样的时间t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分∠BPD=90°、∠BDP=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算；
（2）根据等边三角形的性质和判定定理列出方程，解方程即可；
（3）分PC=BD、BD=CQ两种情况，根据全等三角形的判定定理进行判断即可．

解答 解：（1）当∠BPD=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BD，即2×2t=4，
解得，t=1；
当∠BDP=90°时，
∵点D为AB中点，
∴点P与点C重合，
∴t=4；
∴当t=1或t=4时，△BPD为直角三角形；

（2）∵AB=AC=BC=8，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
当△PCQ为等腰三角形时，△PCQ为等边三角形，
∴CP=CQ，即8-2t=t，
解得，t=$\frac{8}{3}$；

（3）不存在这样时刻t，使得△BPD与△PCQ全等．
当PC=BD时，8-2t=4，
解得，t=2，
则BP=4，
此时CQ=2，
∴BP≠CQ；
当BD=CQ时，t=4，
此时BP≠CP，
∴不存在这样时刻t，使得△BPD与△PCQ全等．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．