Question

5．如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定与性质，可得AE=AF，根据ASA，可得Rt△ABE≌Rt△ACF，根据全等三角形的性质，可得答案．

解答 证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，
∴∠BEA=∠CFA=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAF．
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DAF}\\{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF．
在Rt△ABE和Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\\{∠AEB=∠AFC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（ASA），
∴AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用公共边是证明△ADE≌△ADF的关键，利用公共角是证明Rt△ABE≌Rt△ACF的关键．