Question

16．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（8，n）在边AB上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求G点的坐标．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BOA中，由OA=8，推出AB=OA×tan∠BOA=4，由点D为OB的中点，点B（8，4），可得点D（4，2），n=4，又，点D在y=$\frac{k}{x}$的图象上，可得k=8；
（2）设点F（a，4），推出4a=8，推出CF=a=2，连结FG，设OG=t，则OG=FG=t  CG=4-t，Rt△CGF中，根据GF²=CF²+CG²，可得，t²=（4-t）²+1²，解方程即可；

解答 解：（1）在Rt△BOA中，∵OA=8，
∴AB=OA×tan∠BOA=4，
∴n=4
∵点D为OB的中点，点B（8，4），
∴点D（4，2），
又∵点D在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴2=$\frac{k}{4}$，
∴k=8，
∴y=$\frac{8}{x}$．

（2）设点F（a，4），
∴4a=8，
∴CF=a=2，
连结FG，设OG=t，则OG=FG=t  CG=4-t，
Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，
∴t²=（4-t）²+1²，
∴t=2.5，
∴G点的坐标为（0，2.5）．

点评 本题考查反比例函数的性质、矩形的性质、待定系数法、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．