Question

14．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD与过点C的切线垂直于点D，BD与⊙O交于点E．
（1）求证：BC平分∠DBA；
（2）连接AE和AC，若cos∠ABD=$\frac{1}{2}$，OA=m，请写出求四边形AEDC面积的思路．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，由BD⊥CD，推出OC∥BD，推出∠OCB=∠CBD，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，即可推出∠CBO=∠CBD；
（2）如图连接AC、AE．易知四边形AEDC是直角梯形，求出CD、AE、DE即可利用梯形面积公式计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC，

∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBO=∠CBD，
∴BC平分∠DBA

（2）解：如图连接AC、AE．

∵cos∠ABD=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABD=60°，
由（1）可知，∠ABC=∠CBD=30°，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2m，
∴BC=AB•cos30°=$\sqrt{3}$m，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠BAE=30°，AB=2m，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=m，AE=$\sqrt{3}$m，
在Rt△CDB中，∵∠D=90°，∠CBD=30°，BC=$\sqrt{3}$m，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，BD=$\frac{3}{2}$m，
∴DE=DB-BE=$\frac{1}{2}$m．
∴S_梯形AEDC=$\frac{1}{2}$•（CD+AE）•DE=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$m²．
解题思路：写通顺即可！

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、角平分线的定义、解直角三角形等特殊角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．