Question

5．要在半径长为1米、圆心角为60°的扇形铁皮（如图）上截取一块面积尽可能大的正方形，请你设计一个截取方案（画出示意图），并计算这个正方形铁皮的面积（精确到0.01）．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分别连接PQ和过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OF，构造直角三角形求得正方形的边长，求得正方形的面积后比较即可．由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．

解答 解：有如下两种截取方式，
方案一：如图1

连接OF，设正方形CDEF的边长为x，
∵圆心角为60°，
∴OD=CDcot∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
则在Rt△OFE中，
OF²=OE²+EF²，即1²=x²+（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²，
解得x²=$\frac{21-6\sqrt{3}}{37}$，
∴S_{四边形CDEF}=x²=$\frac{21-6\sqrt{3}}{37}$≈0.29；

方案二：如图2所示，

过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OE，
设EG=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴EG=DH=x，
∵∠DOC=60°，H为CD中点，
∴OH=$\sqrt{3}$DH，
∴OG=OH+HG=$\sqrt{3}$HC+CF=$\sqrt{3}$x+2x，
在Rt△OEG中，
OE²=GE²+OG²，即1²=x²+（$\sqrt{3}$x+2x）²，
解得x²=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四边形CDEF}=4x²=2-$\sqrt{3}$≈0.27，
∴第（一）种方案截取的正方形的面积最大．

点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答．