Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，tanB=$\frac{1}{2}$，作AD⊥AC交BC与E，且AD=AC，连接CD
（1）若CD=4，求CE的长度；
（2）如图2，∠BAD的角平分线交BC于F，作CG⊥AF的返向延长线与G．求证：$\sqrt{2}$BF+AG=CG；
（3）如图3，将“tanB=$\frac{1}{2}$”改为“sinB=$\frac{1}{2}$”作AD⊥AC，且AD=AC，连接BD，CD，延长DA交BC于E，∠BAD的角平分线的反向延长线交BC于F，作CG⊥AF于G，直接写$\frac{BF•FG}{BD•AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DF⊥BC于F，AN⊥BC于N，连接BD．首先证明点B、D、C在以A为圆心的圆上，推出△BDF是等腰直角三角形，再证明tan∠ABC=tan∠ACB=tan∠FDE=tan∠EAN=$\frac{1}{2}$，设EN=a，则AN=2a，CN=BN=4a，推出BF=DF=2a，EF=a，EC=5a，再根据AC=2$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{2}$，求出a即可解决问题．
（2）如图2中，连接DF，延长AF交BD于M．首先证明△BFD是等腰直角三角形，再证明△AMD≌△CGA，推出AG=DM=BM=FM，CG=AM，由△BFD是等腰直角三角形，FM⊥BD，推出∠BFM=∠AFN=45°，推出$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$AN=AF，由此即可证明．
（3）如图3中，作AM⊥BC于M，连接DF．FA的延长线交BD于N．首先证明BD=$\sqrt{2}$BF，由sin∠ABC=$\frac{1}{2}$，推出∠ABC=∠ACB=∠EAM=30°，设EM=m则AE=2m，EC=4m，AM=FM=$\sqrt{3}$m，CF=CM=FM=3m-$\sqrt{3}$m，FG=$\frac{3m-\sqrt{3}m}{\sqrt{2}}$，由此即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作DF⊥BC于F，AN⊥BC于N，连接BD．

∵AB=AD=AC，
∴点B、D、C在以A为圆心的圆上，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠DAC=45°，
∵∠DFB=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BF，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACE+∠AEC=90°，∠FDE+∠FED=90°，∠FED=∠AED，
∴∠FDE=∠ACB=∠ABC，
∵∠EAN+∠AEC=90°，∠ACB+∠AEC=90°，
∴∠EAN=∠ACB，
∴tan∠ABC=tan∠ACB=tan∠FDE=tan∠EAN=$\frac{1}{2}$，设EN=a，则AN=2a，CN=BN=4a，
∴BE=3a，
∵BF=DF=2EF，
∴BF=DF=2a，EF=a，CE=5a，
在Rt△ADC中，∵CD=4，
∴AD=AC=2$\sqrt{2}$，
又∵AC=$\sqrt{A{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{（2a）^{2}+（4a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∴2$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴EC=5a=$\sqrt{10}$．

（2）证明：如图2中，连接DF，延长AF交BD于M．

∵AF平分∠BAD，
∴∠FAB=∠FAD，
在△FAB和△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠FAB=∠FAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△FAD，
∴BF=DF，
∴∠DBF=∠FDB=45°，
∴DF⊥BC，
∵AB=AD，MA平分∠BAD，
∴BM=DM，AM⊥BD，
∵∠DAM+∠CAG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠MAD=∠ACG，∵AD=AC，∠AMD=∠G=90°，
∴△AMD≌△CGA，
∴AG=DM=BM=FM，CG=AM，
由（1）可知，BF=FN=AN，
∵△BFD是等腰直角三角形，FM⊥BD，
∴∠BFM=∠AFN=45°，
∴$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$AN=AF，
∴CG=AM=FM+AF=AG+$\sqrt{2}$BF．
∴$\sqrt{2}$BF+AG=CG．

（3）解：如图3中，作AM⊥BC于M，连接DF．FA的延长线交BD于N．

∵AB=AD，
∴AN⊥BD，BN=DN，
∴FB=FD，
∵∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD=45°，
∴∠FBD=∠FDB=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$BF，
∵sin∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABC=∠ACB=∠EAM=30°，设EM=m则AE=2m，EC=4m，AM=FM=$\sqrt{3}$m，CF=CM=FM=3m-$\sqrt{3}$m，FG=$\frac{3m-\sqrt{3}m}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{BF•FG}{BD•AE}$=$\frac{BF}{\sqrt{2}BF}$•$\frac{\frac{3m-\sqrt{3}m}{\sqrt{2}}}{2m}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题，圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．